Нелинейные системы автоматического управления

Нелинейные системы автоматического управления

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”

на

тему:

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию

устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

Выполнил: ст-т гр. АК4-81

Смык В.Л.

Руководитель: профессор

Хабаров В.С.

Реутов 1997 г.

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости

систем с логическими алгоритмами управления.

На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование

устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание

большинства теоретических исследований сводилось к иследованию

устойчивости.

“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя

говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С.

Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и

нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых

понятиях и терминах.

Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно

длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего

существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.

Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют

не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает

логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет

иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны.

(Металлический шар

устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта

прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как

инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается

устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и

той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие

не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым

относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это

отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по

отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала.

Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по

отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать,

устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких

переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой

устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с

логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет

круговой критерий. Пусть дана система

.

x=Ax+b(, (=c’x, (1)

где ( и ( - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с -

прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на

линейной оси. Предположим , что для некоторого (, [pic]( ( ([pic]

система (1), дополненая соотношением (((((, асимптотически усойчива.

Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе

М([pic]) нелинейностей (((((,t), удовлетворяющих условию

[pic]( ((((t)/( ([pic] (2)

достаточно, чтобы при всех (( (((((((( выполнялось соотношение

Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0. (3)

Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы

F((((((([pic]((((((([pic]((( Действительно, как было показано выше, форма

F(j((() имеет вид

F(j((((((Re{[1+[pic]W(j(((((([pic]W(j()]}|(|[pic]

Из этой формулы после сокращения на |(|[pic] следует (3).

В (3) [pic]((( ( [pic](((( Случай, когда либо [pic] (((, либо [pic] (((

рассматривается аналогично.

Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных

критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с

одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он

получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную

характеристику линейной части W(j().

Обозначая комплексную переменную W(j()=z, рассмотрим систему с одной

нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

Re[(1+[pic]z(((([pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (4)

Re[(1+[pic]z)z[pic]](0, если [pic]((( ( [pic](((( (5)

Re[z(1+[pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (6)

Пусть С([pic]) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими

условиями. Граница В([pic]) области определяемая уравнениями получаемыми из

(4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность,

проходящую через точки -1/[pic], -1/[pic] с центром на оси абсцисс, причем

область С будет внутренностью этой окружности, если [pic]>0, т.е. если

нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если

сектор ([pic]) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ

сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если [pic]=0 или [pic]=0 , то

область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой,

проходящей соответственно через -1/[pic] или -1/[pic]. На рисунке 1

показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ([pic])

в плоскости (( (. Там же изображены кривые W(j(), (>0 для неособого случая,

расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только

приемлимого расположения хаоактеристик W(j() еще недостаточно для суждения

об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы

линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы

с любым блоком, вход ( и выход ( которого удовлетворяют для всех t

неравенству

([pic](-()((-[pic]()(0 (7)

[pic]

Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.

А Х ([pic] У [pic](P) Z

(-)

G(p) g

Рисунок 2.

Здесь W[pic](p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в

общем случае следущий вид:

W[pic](p)=[pic];

(8)

W(p)=[pic];

Алгоритм регулятора имеет вид:

y=([pic]x,

[pic] при gx>0

([pic]= (9)

-[pic] при gx<0,

g=([pic]

В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

[pic]=[pic], [pic]

[pic]=-[pic], (10)

k[pic] при g[pic]>0

где [pic]=

- k[pic] при g[pic]<0,

g=c[pic]+[pic]; [pic]=[pic].

Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при

W[pic](p)=[pic] в уравнениях (10) имеем:

[pic] [pic] (11)

а при W(p)=[pic] имеем:

[pic] (12)

Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение

[pic] (13)

В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде

структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - [pic] и

G(p) или в виде формы Коши (10).

Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой

системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на

рис. 3.

[pic]|x|=c

( g y z

(-) x G(p) W(p)

Рисунок 3.

Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных

представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать

систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда [pic]|x|

- var.

Далее перейдем к анализу нашего метода.

Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на

рис. 3 лостаточно, чтобы при всех (, изменяющихся от ( ( до + (,

выполнялось соотношение:

Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0,

а гадограф (W(j()+1 при [pic][pic] соответствовал критерию Найквиста.

Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде

(4) и (5).

На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса

М([pic]) и годографы W(j(), расположенные таким образом, что согласно (4) и

(5) возможна абсолютная устойчивость.

y ^

y=[pic]g ([pic])

[pic]|x| y=[pic]g (при [pic]=0)

[pic] [pic]

>

[pic] 0

“а” “б”

“в” “г”

Рисунок 4.

В рассматриваемом случае (10) при

W[pic](p)=[pic], когда

W(p)= W[pic](p)G(p), G(p)=[pic]p+1,

годограф W(j() системы на рис. 5.

j

W(j()

(((

[pic]>[pic] [pic]<[pic]

[pic]=[pic]

(=0

Рисунок 5.

В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е.

исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или

(5) при

[pic]>[pic] (14)

Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости

по Ляпунову

а > 0 , ((t) > 0

и

a > c

для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной

устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется

требование

((t) > 0 (15)

поскольку, согласно (11) и (13) a=a[pic]=[pic].

Докажем это, используя условия существования скользящего режима

-[pic]k(((t)=c[pic][pic]k

т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через

[pic], [pic], [pic], тогда получим

-[pic][pic]([pic]((t)=[pic] ([pic][pic] (16)

Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:

1) при [pic] = [pic], ((t)=0

2) при [pic] > [pic], ((t)>0

3) при [pic] < [pic], ((t)<0,

что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее

логическая схема приведена на рис. 6.

[pic]|x|=c

( g ( z

(-) x G(p) [pic](p) [pic]

[pic]

Рисунок 6.

В данном случае считаем что:

[pic] - варьируемая величина,

[pic]=0.5,

[pic]=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра

исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),

[pic]=0.1,1 (коэффициент обратной связи),

[pic]=10,100.

Рассмотрим теперь саму функцию:

W(p)=G(p)W[pic](p),

где G(p) - функция корректора, W[pic](p)= [pic](p)W[pic](p), где

[pic](p)=[pic], а W[pic](p) в свою очередь будет:

W[pic](p)=[pic],

где [pic], соответственно вся функция имеет вид:

W(p)=[pic];

Теперь заменяем p на j( и имеем вид:

[pic];

Для построения гадогрофа выведем формулы для P((), jQ(() которые имеют вид:

P(()=[pic];

jQ([pic];

Графики можно посмотреть в приложении N 2.

Учитывая , что добротность ( должна быть ( 0.5(0.7 мы можем определить

добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за

увеличения [pic] и [pic], ( уменьшается, можно сделать вывод, что

колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 -

1.16 в приложении N 2.

Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как

[pic][pic][pic]>[pic] , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять

только на высоких частотах, а на низких будет преобладать [pic], что можно

наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать

минемальные значения [pic], это значит что, при этих значениях будет

максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках

1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении [pic].

Приложение N 1.

Программа для построения годографов на языке программирования

СИ ++.

#include <graphics.h>

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <string.h>

void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);

void Osi(int Xc, int Yc, int kol);

int xmax, ymax;

float Kos[]={0.1,1.0},

Ko[] ={10.0,100.0},

Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};

void main(void)

{

float P_w, Q_w, w;

int driver, mode, err;

driver = DETECT;

initgraph(&driver,&mode,"");

err = graphresult();

if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<<grapherrormsg(err);

getch();}

else {

xmax = getmaxx();

ymax = getmaxy();

int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);

for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){

cleardevice();

setviewport(0,0,xmax,ymax,0);

Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);

Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);

setcolor(7);

setlinestyle(1,0,1);

rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);

setlinestyle(0,0,1);

rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);

setcolor(15);

setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);

setfillstyle(1,0);

floodfill(5,5,7);

line(10,100,230,100);

line(125,10,125,190);

Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};

closegraph();

}

}

void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)

{

float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,

P_w, Q_w,

To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;

for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-

To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;

if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;

if (P_w<P_w_min) P_w_min = P_w;

if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;

if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;

};

};

float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,

KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;

if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if (KmasY<0) KmasY=-KmasY;

if (KmasX>=220) KmasX=150;

if (KmasY>=140) KmasY=100;

if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};

w = 0;

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-

To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); };

setcolor(Color);

setcolor(9);

line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);

gotoxy(2,5);

printf("K2=");

printf("%f",(-1/P_w_min));

setcolor(15);

for(w=0;w<=700;w=w+0.05){

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-

To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);

};

};

setcolor(13);

circle(Xc-KmasX,Yc,2);

circle(Xc-KmasX,Yc,1);

putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);

outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");

setcolor(15);

if (err==1){

if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");

if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");

if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");

if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");

if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");

if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");

if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");

if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}

else {

char ch=' ';

while(ch!=27&&ch!=13)

if (kbhit()!=0) ch=getch();};

};

void Osi(int Xc, int Yc, int kol)

{

setcolor(15);

rectangle(0,0,xmax,ymax);

line(Xc,10,Xc,ymax-10);

line(10,Yc,xmax-10,Yc);

line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);

line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);

line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));

line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));

settextstyle(2,0,5);

outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");

outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");

settextstyle(2,0,4);

outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");

settextstyle(0,0,0);

if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");

else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");

setcolor(15);

};

Приложение N 2.

[pic]

Рисунок N 1.1 [pic]

Рисунок N 1.2

[pic]

Рисунок 1.3

[pic]

Рисунок 1.4

[pic]

Рисунок 1.5

[pic]

Рисунок 1.6

[pic]

Рисунок 1.7

[pic]

Рисунок 1.8

[pic]

Рисунок 1.9

[pic]

Рисунок 1.10

[pic]

Рисунок 1.11

[pic]

Рисунок 1.12

[pic]

Рисунок 1.13

[pic]

Рисунок 1.14

[pic]

Вставка 1.15

[pic]

Рисунок 1.16

Литература:

1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной

структурой. - М.: Наука, 1967.

2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва

“Наука”, 1979.

3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной

устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.

4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.

Список постраничных ссылок:

1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом

Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.

2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.-

М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.