Синтез системы стабилизации

Синтез системы стабилизации

Введение

Задача синтеза системы автоматического управления (САУ) заключается в выборе такой ее структуры, параметров, характеристик и способов их реализации, которые при заданных ограничениях наилучшим образом удовлетворяют требованиям, предъявляемым к системе.

Обычно определенная часть проектируемой системы задана. Она является исходной или нескорректированной САУ. Параметры ее функциональных элементов известны. В такой постановке задача проектирования сводится к определению корректирующего устройства (КУ), обеспечивающего заданные показатели качества системы.

Наиболее простым, наглядным и хорошо разработанным инженерным методом синтеза САУ является метод логарифмических амплитудных частотных характеристик (ЛАЧХ). Его идея основана на однозначной связи между переходным процессом в системе и ее ЛАЧХ. Исходя из этого, по заданным точностным и динамическим показателям сначала строится желаемая ЛАЧХ, а затем путем графического построения осуществляется приближение к ней частотных характеристик исходной системы. В результате такой процедуры определяется ЛАЧХ КУ. Корректирующее устройство может включаться в канал управления последовательно или встречно-параллельно. Вид коррекции предопределяет некоторые особенности синтеза, обусловленные методикой получения ЛАЧХ КУ.

1. Построение структурной схемы нескорректированной системы и определение передаточных функций ее звеньев

Рис. 2 структурная схема нескорректированной системы

Динамические свойства элементов САР описываются следующей системой уравнений:

- гидротурбина;

- тахогенератор;

- сравнивающий орган;

- электронный усилитель;

- электродвигатель совместно с редуктором и заслонкой.

Считаем, что все звенья системы линейны. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации и можно сразу приступить к определению передаточных функций (ПФ) динамических звеньев.

Запишем в общем виде ПФ каждого звена системы:

ПФ усилителя:

ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой:

ПФ гидротурбины:

ПФ тахогенератора:

ПФ возмущения (мощности):

Подставим числовые значения из Таблицы 1 в полученные выражения ПФ:

ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой записаны в общем виде. Для определения типа электродвигателя исследуем его на колебательность, проверив условие:

Если оно выполняется, то электродвигатель является апериодическим звеном второго порядка, если не выполняется - колебательным звеном.

Подставляя значения получим и , получим:

4*0.002?0.014; 0.008?0.014

Условие выполняется, значит, электродвигатель - апериодическое звено второго порядка и его ПФ можно записать как:

Для нахождения коэффициентов используем соотношения:

Подставив значения и , получим систему уравнений, решив которую, найдем и

; ;

Получим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант уравнения;

Определим корни:

Окончательный вид ПФ двигателя примет вид:

Таким образом, ПФ разомкнутой системы будет равна:

Приведем систему к единичной обратной связи. Для этого используем правило структурного преобразования системы. Структурная схема системы с учетом обратной единичной связи представлена на рис. 3.

Рис.3. Структурная схема исходной схемы, приведенной к единичной обратной связи.

ПФ замкнутой системы примет вид:

Найдем установившуюся ошибку исходной системы. Для этого нужно найти ошибку по входному сигналу и ошибку по возмущению.

Решаем выражение:

Подставим значения:

Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:

Подставив в полученное уравнение, получим:

2. Оценка точности и анализ качества исходной системы. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной системы и определение ее устойчивости.

Для построения ЛАЧХ исходной системы, используем ПФ разомкнутой системы, полученную в предыдущем пункте:

Основным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения без применения вычислительной работы. Особенно когда ПФ может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклоном [20 дБ/дек].

Определим точки излома и пересечения с осями логарифмической координатной сетки нашей ПФ.

Для построения ЛАЧХ находится величина:

Определяем L(щ) при щ = 0;

L(щ)=20lgK=20lg16.8=20*1.225=24.5062

Постоянные времени:

Находим точки излома исходной ЛАЧХ:

Используя полученные значения, строим ЛАЧХ исходной системы (рис. 4, Lисх).

Используем средства математического пакета MATLAB, в частности, приложением Control System Toolbox, для определения устойчивости и частотных характеристик исходной системы.

Занесем ПФ разомкнутой системы в MATLAB, обозначив ее через W.

W=zpk([],[0,-86.36,-413.74,-10],16.8/(0.01158*0.002417*0.1))

Zero/pole/gain:

6002388.093

----------------------------

s (s+86.36) (s+413.7) (s+10)

Строим фазовую частотную характеристику (рис. 5), которую используют для определения фазового сдвига между входными и выходными колебаниями. Используем функцию margin.

>> margin(W); grid on

Рис. 5

Для определения запаса устойчивости определяют две величины: запас устойчивости по фазе Дц и запас устойчивости по амплитуде ДL.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Дц, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза , чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ДL допустимого подъема л.а.х., при котором система окажется на границе устойчивости.

По рис. 5 определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. В нашем случае запас по фазе Дц = 33.1, запас по амплитуде ДL = 13.4 Дб. Данные параметры системы являются неудовлетворительными и не соответствуют рекомендуемым значениям Дц = 40ч600, следовательно система неустойчива.

Воспользуемся критерием Найквиста для определения устойчивости разомкнутой системы автоматического управления. Для этого построим годограф Найквиста от разомкнутой системы с помощью средств MATLAB (рис. 6). Используем функцию nyquist.

Рис.6

Увеличим область в начале координат.

Рис.7

Точка с координатой (0;-j) охватывает годограф, следовательно, исходная система неустойчива.

Для определения переходного процесса найдем ПФ замкнутой исходной системы, обозначив ее через F. Для этого используем команду feedback.

>> F=feedback(W,1)

Zero/pole/gain:

6002388.093

-----------------------------------------

(s+413.6) (s+88.99) (s^2 + 7.48s + 163.1)

Для определения времени, через которое наступит установившийся режим после подачи единичного ступенчатого воздействия строим переходную характеристику замкнутой системы, которая представлена рис. 8. При ее построении в MATLAB использовали функцию step.

>> step(F)

Рис. 8

Из рисунка видно, что процесс является сходящимся, (гармонические колебания затухают), а значит переходный процесс замкнутой системы устойчивый. Время переходного процесса 1,4 с.

Делая вывод из всего вышеперечисленного можно сказать, что система имеет характеристики не удовлетворяющие заданным параметрам. Для их улучшения необходимо в состав системы ввести дополнительно корректирующее звено (регулятор). Для этого, необходимо построить ЛАЧХ желаемой системы, с помощью которой получить ПФ корректирующего звена. Далее исследуем ПФ желаемой системы на критерий качества и реализуем корректирующее звено.

3. Построение желаемой ЛАЧХ. Определение желаемых передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Оценка показателей качества системы с использованием пакета MATLAB

Желаемая логарифмическая частотная характеристика может быть условно разделена на три части:

- низкочастотная часть (НЧ) определяется требуемой точностью работы системы, а коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядок ее астатизма;

- среднечастотная часть (СЧ) желаемой ЛАЧХ является наиболее существенной частью характеристики, т.к. ее вид определяет динамические свойства системы САУ;

- высокочастотная часть (ВЧ) мало влияет на динамику системы, поэтому она выбирается исходя из простоты корректирующего устройства.

3.1 Построение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ

Низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет такой же наклон, как и ЛАЧХ исходной системы, она определяет точность работы системы и зависит от коэффициента усиления. В данном случаи строим низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ параллельно и на 3 Дб выше ЛАЧХ исходной системы.

Желаемая ЛАЧХ должна пересекать ось абсцисс под наклоном -20 дБ/дек. Соединяя точки lg() и , получаем прямую.

При lg(щ) = 0, высота ЛАЧХ исходной равна:

L(щ) = 20lgK = 20lg16.8 = 24.5 Дб.

Высота ЛАЧХ желаемой = 27.5

3.2 Построение среднечастотной и высокочастотной частей желаемой ЛАЧХ

Через частоту среза проходит прямая -20 Дб/дек. Это является обязательным условием для получения качественной системы. Из-за широкой среднечастотной части, перерегулирование будет малым.

Частота среза находится графически. Отмечаем полученные точки на горизонтальной оси желаемой ЛАЧХ, проводим требуемые наклоны и получаем среднечастотную часть.

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет произвольный вид, т.к. она практически не влияет на качество САУ. Однако, для упрощения корректирующего устройства, необходимо стремиться к тому, что бы она совпадала по наклону с исходной ЛАЧХ в указанной области частот. При этом требуется, чтобы высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ не заходила в запретную зону, образованную прямой с нулевым наклоном 0 Дб/дек.

По полученным точкам достраиваем высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ и получаем желаемую логарифмическую амплитудную характеристику (рис. 3, ).

По виду получаемой желаемой ЛАЧХ записываем ПФ:

.

Для того, чтобы правильно записать коэффициент в приведенной ПФ, осуществим переход от логарифмов:

; ;

Подставляем полученные коэффициенты в выражение для и получаем:

Определяем желаемую фазовую частотную характеристику. А также переходный процесс и показатели качества желаемой системы. Для этого занесем полученную ПФ в MATLAB в zpk-форме:

>> Wzh=zpk ([],[0,-86.36,-413.74,-413.74],16.8/(0.01158*0.002417*0.002417))

Zero/pole/gain:

248340425.8576

-----------------------

s (s+86.36) (s+413.7)^2

Определяем желаемую фазовую частотную характеристику (рис.9):

>> margin(Wzh);grid on

Рис.9

Запас устойчивости по фазе данной системы Дц = 74.60, запас по амплитуде ДL = 23.4 Дб. Данная система устойчива.

Находим ПФ замкнутой системы:

>> Fzh=feedback(Wzh,1)

Zero/pole/gain:

248340425.8576

---------------------------------------------

(s+47.2) (s+29.76) (s^2 + 836.9s + 1.768e005)

Переходная характеристика желаемой системы представлена на рис. 10.

>> step(Fzh);grid on

Рис.10

Время переходного процесса составляет 0,3 с. Оно характеризует быстродействие системы. Перерегулирование равно 0% - не превышает заданного 25%.

Исходя из вышеперечисленного можно сделать вывод, что система устойчива, так как переходный процесс является сходящимся. Таким образом, желаемая система автоматического управления удовлетворяет установленным к ней требованиям по быстродействию, перерегулированию и запасом устойчивости.

4. Синтез последовательного корректирующего устройства (регулятора)

Структурная схема САУ при последовательной коррекции изображена на рис. 11, где приняты следующие обозначения: - передаточная функция исходной системы; - ПФ корректирующего устройства.

Рис. 11. Структурная схема системы при последовательной коррекции.

Полагая, что ПФ скорректированной системы :

Переходя к логарифмическим характеристикам, после преобразований, получим:

Таким образом, графически вычитая из и учитывая точки излома, получим ЛАЧХ корректирующего устройства (рис. 4, ).

По форме записываем ПФ корректирующего устройства :

Коэффициент передачи корректирующего устройства определяется:

20lg K = 3;

Подставив значения времени и коэффициента передачи в полученную ПФ корректирующего устройства:

Существует три способа реализации:

1. Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев;

2. Коррекция на основе активных фильтров (операционных фильтров);

3. Дискретная коррекция.

4.1 Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев

Схема регулятора приведена на рис. 12, ниже приведены расчеты его емкостных и резистивных элементов. ПФ корректирующего звена:

Рис. 12

Передаточная функция аналогового регулятора рассчитывается:

; ??>T;

;

;

.

В нашем случае:

?? = Т3 = 0.1 с

Т = Т2 = 0.002417с

Зададим С = 0,1*10-6Ф. Найдем сопротивление .

;

; Ом

.

Найдем численное значение магнитного усилителя:

; .

Полученные значения:

;

;

С = 0,1*10-6Ф.

Записываем ПФ с учетом найденного значения коэффициента:

4.2 Коррекция на основе активных фильтров (операционных усилителей)

Регуляторы предназначены для формирования законов управления и часто реализуется на операционных усилителях.

Схема регулятора на ОУ приведена на рис. 13; ниже проведем расчет его емкостных элементов.

Рис. 13

;

Передаточная функция операционного усилителя рассчитывается:

;

.

.

.

Зададимся: . Найдем емкости С1 и С2 и сопротивление R2.

При этом:

?? = Т3 = 0.1 с

Т = Т2 = 0.002417с

Находим значения емкостей и сопротивлений:

;

Получаем следующие значения:

;

;

С1 = 0.1*10-6Ф.

С2 = 0.0017*10-6Ф.

Записываем ПФ с учетом найденных значений:

;

4.3 Реализация цифрового регулятора

Цифровой регулятор может быть получен из передаточной функции корректирующего устройства путем перевода ее в дискретную форму с помощью аппроксимации тастина и последующей записи разностного уравнения.

На рис. 14 изображена общая структурная схема цифрового регулятора, принцип действия которого следующий: сигнал, поступающий в АЦП (аналогово-цифровой преобразователь), преобразуется из аналоговой формы в цифровую путем квантования непрерывной величины по времени, затем сигнал поступает в D(z) (цифровая вычислительная машина), где производятся вычисления согласно разностному уравнению, после чего сигнал поступает в ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь), где и преобразуется из цифровой в аналоговую форму.

Рис. 14

Чтобы найти значение периода дискретности, воспользуемся следующим неравенством:

; ; с

Период дискретности равен ТS = 0.0012 с

Данную операцию осуществим с помощью MATLAB. Заносим полученную ПФ WK в MATLAB в zpk-форме:

>> Wk=zpk([-10],[-413.74],1.41*0.1/0.002417)

Zero/pole/gain:

58.34 (s+10)

--------------

(s+413.7)

Аппроксимируем Wk(s) вышеописанным способом:

>> Wkd=c2d(Wk,0.0012,'tustin')

Zero/pole/gain:

47.0155 (z-0.9881)

------------------

(z-0.6023)

Sampling time: 0.0012

Раскроем скобки:

;

Разделим полученное выражение на z:

;

Запишем разностное уравнение:

Полученное уравнение используем для реализации регулятора. Эта рекуррентная формула позволяет вести расчет в режиме реального времени.

5. Оценка точности и качества скорректированной системы

Для определения оценки качества и точности полученной скорректированной системы, воспользуемся средствами пакета MATLAB. Определим частотную и переходную характеристику скорректированной системы. Составим модель системы с помощью приложения SIMULINK пакета MATLAB.

5.1 Определение точности и расчет переходных процессов в скорректированной системе

Для определения точности и расчета переходных процессов скорректированной системы необходимо вычислить ПФ разомкнутой системы.

WCK(s) = W(s)*WK(s);

Определяем ошибку скорректированной системы:

Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:

.

Для определения фазовой и переходной характеристик, используем пакет MATLAB. Заносим WCK(s) в MATLAB:

>> Wck=W*Wk

Zero/pole/gain:

350160000.4591 (s+10)

------------------------------

s (s+86.36) (s+413.7)^2 (s+10)

После сокращения:

Определим фазовую частотную характеристику скорректированной системы (рис. 15):

>> margin(Wck);grid on

Рис. 15

Запас устойчивости по фазе 68.90, ДL = 20.4 Дб, что удовлетворяет условиям.

Находим ПФ замкнутой скорректированной системы:

>> Fck=feedback(Wck,1)

Zero/pole/gain:

350160000.4591 (s+10)

------------------------------------------------------

(s+10) (s^2 + 73.41s + 1956) (s^2 + 840.4s + 1.79e005)

Рассмотрим переходный процесс замкнутой скорректированной системы (рис. 16).

Рис. 16

6. Построение и описание функциональной схемы скорректированной системы.

Изобразим функциональную схему (рис. 17) с учетом регулятора, предварительно описав параметры корректирующего устройства. Параметры регулятора приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Рис. 17 Функциональная схема с учетом корректирующего устройства.

Скорректированная система обладает следующими характеристиками:

- Перерегулирование = 0%;

- Время переходного процесса tПЕР = 0.14с;

- Запас устойчивости по фазе 68.90;

- Запас устойчивости по амплитуде ДL = 20.4 Дб.

Библиографический список используемой литературы

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления - Изд. 4-е, перераб. и доп. - СПб, Изд-во "Профессия", 2003

Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Политехника, 2003. - 302 с.: ил.

Синтез следящей системы автоматического управления: Метод. указания к курсовой работе. Сост. В.И. Будин, О.Б. Сигова, - Самара, СамГТУ, 2003. - 20 с.

Медведев В.С., Потемкин В.Т. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. - М.: ДИАЛОГ - МИФИ, 1999. - 287 с.

Лазарев Ю.Ф. MatLab 5. x. - К.: Издательская группа BHV, 2000. - 384 с.

Дьяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник. - СПб: Питер, 2002. - 528 с.: ил.